PANDANGAN DASAR MATEMATIKA

        

 

 

        PANDANGAN DASAR MATEMATIKA  

 Disusun

  O

  L

  E

  H

                                                      

               Marzuki Ahmad

 

Pendahuluan

1.1.  Latar Belakang

Perkembangan dunia pendidikan matematika dewasa ini tidak terlepas dari kaftan antara matematika sebagai "ilmu" dan didaktik atau psikologi pendidikan. Seperti yang kita ketahui, filsafat konstruktivisme telah diterima luas dalam dunia pendidikan, tak terkecuali pendidikan matematika. Pembelajaran kontekstual yang sekarang sedang digalakkan dan secara tersurat termaktub dalam Kurikulum 2004, tidak lain merupakan salah satu ekses dari diterimanya filsafat konstruktivisme dalam filsafat ilmu.

Di pihak lain, matematika sebagai ilmu sesungguhnya memiliki interpretasi yang demikian beragam. Oleh karena matematika yang diajarkan di sekolah juga merupakan bagian dan matematika, maka berbagai karakteristik dan interpretasi matematika dari berbagai sudut pandang juga memainkan peranan dalam pembelajaran matematika di sekolah. Dengan memahami karakter matematika, guru diharapkan dapat mengambil sikap yang tepat dalam pembelajaran matematika. Lebih jauh lagi, is seharusnya memahami batasan sifat dan matematika yang dibelajarkan kepada anak didik. Jangan sampai guru memandang matematika hanya sebagai kumpulan rumus belaka, tidak pula hanya sebagai proses berpikir saja. Pemahaman yang komprehensif tentang matematika akan memungkinkan guru menyelenggarakan pembelajaran dengan lebih baik.

Banyak penelitian yang menunjukkan bahwa persepsi atau sikap guru terhadap matematika mempengaruhi persepsi atau sikapnya terhadap pembelajaran matematika. Untuk menyebut salah satunya, Hersh (dalam Sumaji,dkk, 1998: 246) menyatakan bahwa hasil pengamatan di kelas, menurut para peneliti, bagaimana matematika diajarkan di kelas dipengaruhi dengan kuat oleh pemahaman guru tentang sifat matematika.

Pemahaman yang tidak utuh terhadap matematika sering memunculkan sikap yang kurang tepat dalam pembelajaran, lebih parah lagi dapat memunculkan sikap negatif terhadap matematika. Dengan pemahaman yang utuh, diharapkan pembelajaran dapat menjadi lebih bermakna.

1.2. Rumusan Masalah

Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah Bagaimana etimologi dan cara memandang  pandangan dasar matematika

1.3. Tujuan Penulisan Makalah

Adapun yang menjadi tujuan penulisan dalam makalah ini adalah bagaimana etimologi dan cara memandang  pandangan dasar matematika

 

Kajian teori

2.1.  Sejarah Matematika

Obyek-obyek matematika bersifat sosial-kultural-historis, artinya bahwa matematika dan pembelajarannya merupakan milik bersama seluruh umat. Betapapun primitifnya suatu masyarakat, matematika adalah bagian dan kebudayaannya (meski dalam bentuk yang sederhana). Karena itu matematika bersifat universal. Matematika itu sendiri lahir dari perjalanan panjang yang menyejarah dalam kehidupan manusia.

Matematika seperti juga aspek kehidupan manusia lainnya, memiliki sisi yang tidak terpisahkan yaitu sejarah. Sejarah matematika terbentang dan sekitar 4000 SM hingga kini serta memuat sumbangan dari ribuan tokoh matematika. Sejarah matematika menampilkan bagian matematika yang berkaitan dengan perkembangan matematika hingga menemukan bentuknya dewasa ini, yang terekam dalam kebudayaan besar: Mesopotamia, Mesir Kuno, Yunani Kuno, India Kuno, China Kuno, Arab Kuno, Persia, dan Eropa Kuno, serta zaman modern yang sebagian besar terpusat di Eropa.

Sejarah matematika termasuk bagian dan matematika. Sejarah matematika tidak saja ada karena keberadaanya merupakan suatu keniscayaan, tetapi is juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada perkembangan matematika dan pembelajaran matematika.

Melihat bahwa matematika itu "diciptakan" oleh manusia terdahulu, maka ini memberi ilham bagi paradigma pembelajaran yang bersifat konstruktivisme. Ini yang menurut penulis implikasi atau peran penting sejarah matematika dalam pembelajaran. Siswa diperbolehkan menggunakan usahanya sendiri dalam menyelesaikan suatu masalah matematika (atau yang bernuansa matematika) bahkan dengan menggunakan bahasa dan lambangnya sendiri. Paradigma semacam ini kini menjadi trend dalam pembelajaran matematika realistik atau konstruktivis. Perkembangan matematika dalam diri individu (ontogeny) mungkin saja mengikuti cara yang sama dengan perkembangan matematika itu sendiri (phylogeny).

2.2.  Evolusi Matematika

Matematika tidaklah muncul secara tiba-tiba. Matematika bukanlah barang yang aneh dan kaku - sehingga banyak yang merasa takut dengan matematika – ia bukan warisan para dewa. Matematika itu produk yang biasa saja, ia lahir karena ada sebab­sebab yang melahirkannya seperti halnya produk manusia lainnya, semisal lampu, sepeda, sistem pemerintahan, jenis musik, dan lain-lain. "Mathematics has not grown in a vacuum" (matematika tidak lahir dalam kevakuman) demikian Raymond L. Wilder (1981: 161).

Ada yang membedakan antara sejarah matematika di satu sisi dengan evolusi matematika di sisi lain. Kalau sejarah matematika umumnya berkenaan dengan record (catatan) perkembangan matematika secara kronologis, maka evolusi

matematika lebih menekankan pada proses perkembangan matematika itu atau secara lebih khusus membicarakan tentang sebab-sebab perkembangan konsep yang satu (primitij) menuju ke konsep yang lain (modern). Moore menyatakan "Mathematical sciences, like all other living things, has its own natural laws of growth" (pengetahuan matematika seperti juga perikehidupan manusia lainnya, memiliki hukum-hukum pertumbuhan alaminya sendiri) (Wilder: 1981). Beberapa faktor yang mempengaruhi perkembangan matematika seperti diungkap oleh Wilder antara lain: hereditary stress (faktor dari "dalam" diri matematika), environment stress (faktor lingkungan), diffusion (faktor bergabungnya beberapa ide matematika), consolidation (faktor meleburnya beberapa ide/konsep matematika menjadi ide/konsep baru), selection (faktor seleksi ide matematika yang tepat atau yang penting), simbolic achievement (faktor perkembangan simbolisasi), exceptional individual (faktor beberapa orang yang secara tak biasa dapat melihat beberapa hal jauh ke depan melebihi pemikiran pada jamannya), leaps in abstraction (faktor lompatan tingkat abstraksi suatu ide/konsep matematika), great generalization (faktor generalisasi konsep matematika), dan lain-lain.

Guru yang memahami sebab-sebab perkembangan suatu konsep matematika, akan lebih mudah menangani pembelajaran konsep tersebut. Guru akan dapat menghindari miskonsepsi-miskonsepsi dalam pembelajaran matematika.

2.3. Ethnomatematika

Ethnomatematika mula-mula dipelopori oleh Ubiratan D'Ambrosio tahun 1985. Di satu tingkat, ethnomatematika dapat disebut sebagai "matematika dalam lingkungan" (math in the environment) atau "matematika dalam komunitas (math in the community). Pada tingkat lain, ethnomatematika merupakan cara khusus yang dipakai oleh suatu kelompok budaya tertentu dalam aktivitas mengelompokkan, mengurutkan, berhitung dan mengukur (aktivitas-aktivitas matematis). Tidak seperti ethnobiologi, ethnokimia, atau pun ethnoastronomi; ethnomatematika baru saja lahir atau agak terlambat perkembangannya. Hal ini terutama dikarenakan asumsi formal bahwa matematika itu bebas kultur. Akan tetapi, sekarang ethnomatematika sudah diterima luas, International Conggress on Ethnomathematics telah dua kali diadakan (Granada, Spanyol tahun 1998 dan Ouro Preto, MG, Brazil tahun 2002), serta ratusan buku, artikel, maupun website telah dipublikasikan.

Bagaimana ethnomatematika mempengaruhi pembelajaran matematika? Seperti yang kita ketahui, "isi" dan "semangat" matematika ada di mana-mana termasuk dalam suatu kelompok budaya tertentu seperti arsitektur, agrikultur, permainan masyarakat, tatabahasa, olahraga, bahkan peribadatan agama. Tentu saja yang dipelajari adalah sifat-sifat atau bentuk-bentuk matematika di dalamnya. Pembelajaran matematika dapat mengambil manfaat dari budaya tersebut, terutama sebagai sumber belajar matematika, selain untuk meningkatkan motivasi dan kepercayaan diri siswa dalam belajar matematika.

Banyak judul ethnomatematika yang pernah dipublikasikan, baik dalam bentuk buku maupun artikel, beberapa di antaranya: bentuk bola permainan "Sepak Takraw" (olah raga rakyat di Sumatera), bilangan dan penggunaannya di Kedang (Indonesia), permainan Mancala (Afrika), ornamen geometris masjid (Arab), berhitung dengan Quipu (Amerika Latin), aritmetika dalam Luo-Shu (Cina).

D'Ambrosio (2002: 3) menyatakan terdapat dua alasan utama penggunaan ethnomathematics dalam pendidikan: (1) untuk mereduksi anggapan bahwa matematika itu bersifat final, permanen, absolut (pasti), dan unik (tertentu), (2) mengilustrasikan perkembangan intelektual dan berbagai macam kebudayaan, profesi, jender, dan lain-lain.

2.4.  Karakteristik Filosofis Matematika

Berangkat dari pertanyaan sederhana, "apakah sebenarnya matematika itu?", para ahli telah bergumul dengan ide dan pemikiran filsafat sejak abad ke-19 hingga sekarang ini. Kini kita mengenal beberapa pemikiran atau sering disebut aliran dalam matematika, yang secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi jalan perkembangan matematika termasuk perkembangan pendidikan matematika.

1. Formalisme

Ahli matematika Jerman, David Hilbert (1862-1943) menjadi pelopor aliran matematika ini. Bagi kaum formalis, matematika itu sesungguhnya dikembangkanmelalui suatu sistem aksioma^*. Sifat alami dari matematika itu adalah sistem lambang-lambang formal. Mereka percaya bahwa objek-objek matematika itu tidak ada hingga diciptakan oleh manusia melalui sistem aksioma. Mereka mencoba membuktikan bahwa seluruh bangunan matematika yang disusun dari sistem aksioma itu adalah konsisten. Pemikiran ini mempengaruhi buku-buku pelajaran dan kurikulum matematika selama pertengahan abad ke-20. Kurikulum 1975 adalah contoh par exellent dari pemikiran ini.

Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan sistem aksioma, tetapi menganggap bahwa formalisme menjadi landasan matematika tidak diterima oleh beberapa ahli. Keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa kita tidak mungkin dapat membuat suatu sistem lengkap yang konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini terkenal dengan sebutan Teorema Ketidaklengkapan Godel (Godel's

Incompleteness Theorem).

2.       Logikalisme atau Logisisme

Dua ahli matematika sekaligus ahli filsafat dari Inggris menjadi pioner aliran atau landasan matematika ini, yaitu Bertrand Russell (1872-1970) dan Alfred North Whitehead (1861-1947) lewat buku mereka Principia Mathematica (1903). Menurut mereka semua matematika dapat diturunkan dari prinsip-prinsip logika. Kebanyakan ide-ide logika juga diterima oleh kaum formalis, tetapi meraka tidak percaya bahwa matematika dapat diturunkan dari logika saja. Sementara menurut kaum logisisme, matematika itu tidak lain adalah logika. Menurut istilah mereka, matematika itu masa dewasa dan logika. Keberatan utama terhadap aliran ini adalah adanya paradoks-paradoks^* logika (seperti paradoks teori himpunan pada aliran formalisme) yang tidak dapat diselesaikan oleh kaum pendukung logisisme.

3.       Intuisionisme

Pioner aliran ini adalah Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) seorang matematikawan Belanda. Aliran ini sejalan dengan filsafat umum dari ImmanuelKant (1724-1804). Intuisionis mengklaim bahwa matematika berasal dan berkembang di dalam pikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematika tidak terletak pada simbol-simbol di atas kertas, tetapi terletak dalam akal pikiran manusia. Hukum-hukum matematika tidak ditemukan melalui pengamatan terhadap alam, tetapi mereka ditemukan dalam pikiran manusia.

Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuisionis tidak memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran. Kita tidak mengetahui secara tepat pengetahuan intuitif bekerja dalam pikiran. Konsep-konsep mental seperti cinta dan benci berbeda-beda antara manusia yang satu dengan yang lain. Apakah realistik bila mengganggap bahwa manusia dapat berbagi pandangan intuitif tentang matematika secara persis sama. Lalu, mengapa kita mengajarkan matematika bila semua matematika adalah intuitif?

Lalu di mana implikasi teori-teori landasan matematika itu bagi pembelajaran matematika? Implikasi langsung memang kelihatannya tidak ada, tetapi ia akan mempengaruhi pola pikir seseorang (guru) dalam memandang matematika sehingga mempengaruhi cara guru membelajarkan matematika.

Guru yang menganggap matematika hanya merupakan kumpulan angka-angka dan rumus-rumus belaka maka sadar atau tidak ia telah menjadi pendukung kaum formalisme (yang ekstrem). Guru tipe ini seringkali hanya mengajarkan matematika bukannya membelajarkan matematika.

2.5. Deskripsi Matematika

Matematika sering dideskripsikan dengan cara yang berbeda-beda tergantung dari sudut pandang mana yang dipakai. Berikut ini beberapa deskripsi matematika yang sering dipergunakan.

1.         Matematika sebagai struktur yang terorganisir.

Agak berbeda dengan ilmu dan pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, is terdiri dari beberapa komponen yang antara lain meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corollary/sifat).

2.         Matematika sebagai alat (tool)

Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai masalah kehidupan sehari-hari. "Mathematics is the queen of science..." demikian Karl Frederich Gauss mengungkapkan beberapa abad yang lalu.

3.         Matematika sebagai pola pikir deduktif

Seperti telah disinggung pada bagian di muka, matematika merupakan pengetahuan yang berpola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika diterima kebenarannya bila telah dibuktikan secara deduktif (umum).

4.         Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking)

Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.

5.         Matematika sebagai bahasa artifisial

Simbol merupakan ciri paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.

6.         Matematika sebagai seni yang kreatif

Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

Dalam pembelajaran matematika, semua pandangan tersebut di atas hams dipergunakan secara proposional. Tidak boleh hanya menekankan pada keberadaan simbol belaka tanpa memperhatikan struktur yang terkait, juga tidak boleh mementingkan penalaran saja tanpa penguasaan rumus atau aturan/prosedur matematika yang memadai, tidak pula mementingkan sifat deduktif dengan mengabaikan contoh atau pendekatan induktif dalam pembelajaran.

Deskripsi matematika dalam Buku panduan Lawrence University seperti dikutip oleh Susilo, F (dalam Sumaji, dkk, 1998 : 228) menyuguhkan harmoni yang sungguh indah dan menurut penulis telah meliputi selumh karakteristik matematika. Redaksi dari pernyataan tersebut sebagai berikut:

Lahir dari dorongan primitif manusia untuk menyelidiki keteraturan dalam alam semesta, matematika merupakan suatu bahasa yang terus-menerus berkembang untuk mempelajari struktur dan pola. Berakar dalam dan diperbaharui oleh realitas dunia, serta didorong oleh keingintahuan intelektual manusiawi, matematika menjulang tinggi menggapai alam abstraksi dan generalitas, tempat terungkapnya hubungan-hubungan dan pola-pola yang tak terduga, menakjubkan, sekaligus amat bermanfaat bagi kehidupan manusia. Matematika adalah rumah alami baik bagi pemikiran-pemikiran yang abstrak maupun bagi hukum-hukum alam semesta yang konkret. Matematika sekaligus merupakan logika yang mumi dan seni yang kreatif.

2.6.  Karakteristik Umum Matematika

1. Memiliki objek kajian yang abstrak

Matematika mempunyai objek kajian yang bersifat abstrak, walaupun tidak setiap objek abstrak adalah matematika. Sementara beberapa matematikawan menganggap objek matematika itu "konkret" dalam pikiran mereka, maka kita dapat menyebut objek matematika secara lebih tepat sebagai objek mental atau pikiran. Ada empat objek kajian matematika, yaitu fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip.

a. Fakta

Fakta adalah pemufakatan atau konvensi dalam matematika yang biasanya diungkapkan lewat simbol tertentu.

Cara mempelajari fakta bisa dengan cara hafalan, drill (latihan terus­menerus), demontrasi tertulis, dan lain-lain. Namun perlu dicamkan bahwa mengingat fakta adalah penting tetapi jauh lebih penting memahami konsep yang diwakilinya. Mengutip istilah Skemp, arti atau konsep yang diwakili oleh simbol disebut deep structure (struktur dalam), sementara bentuk simbol itu sendiri merupakan surface strukture (struktur muka).

Rubenstein & Thompson (2000: 268) mengingatkan:

In general, teachers must be aware of the dculties that symbolism creates for students. Symbolism is a form of mathematical language that is compact, abstract, specific, and formal. ... Therefore, opportunities to use that language should be reguler, rich, meaningful, and rewarding.

Secara umum, guru harus menyadari kesulitan-kesulitan tentang simbol bagi siswa. Simbolisme merupakan bentuk bahasa matematika yang rapi, abstrak, khusus, dan formal … Dengan demikian, kesempatan menggunakan bahasa tersebut seharusnya secara bertahap, kaya, penuh arti, dan bermanfaat. Dengan demikian dalam memperkenalkan simbol atau fakta matematika kepada siswa, guru seharusnya melalui beberapa tahap yang memungkinkan siswa dapat menyerap makna dari simbol-simbol tersebut.

Penggunaan simbol seharusnya secara informal pada tahap awal, untuk membantu anak tetap pada pola dan hubungan yang dapat mereka pahami. Dalam hal ini pendekatan enaktif^:ikonik-simbolik dan J. Bruner dapat diterapkan. Mereka bahkan dapat menggunakan simbol-simbol pilihan mereka sendiri. Hal ini dipikirkan sebagai suatu cara untuk menjaga partisipasinya dalam proses penemuan dan formalisasi pengalaman matematika. Hal tersebut juga untuk menjaga pengalaman belajar dari sekedar hanya latihan mengingat. (Resnick & Ford, 1981: 122).

Penggunaan fakta yang berupa simbol bila terlalu cepat diberikan kepada siswa, dapat menyebabkan salah pengertian atau miskonsepsi terhadap simbol tersebut. Selain itu, penekanan pada aspek teknis berupa perhitungan belaka, juga dapat menimbulkan miskonsepsi tersebut.

 b. Konsep

Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkategorikan sekumpulan objek, apakah objek tertentu merupakan contoh konsep atau bukan. Konsep dapat dipelajari lewat definisi atau observasi langsung. Siswa telah dianggap memahami konsep bila is dapat memisahkan contoh konsep dari yang bukan contoh konsep.

1). Definisi

Konsep berhubungan dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi konsep. Dengan adanya definisi, orang dapat membuat ilustrasi, gambar, skema, atau simbol dari konsep yang didefinisikan.

Ada tiga macam definisi yang dikenal:

a). Definisi analitik

Suatu definisi disebut bersifat analitik apabila definisi tersebut dibentuk dengan genus proksimum dan deferensia spesifika (genus: keluarga terdekat, deferensia spesifika: pembeda khusus).

b). Definisi genetik

Suatu definisi dikatakan bersifat genetik apabila pada definisi tersebut terdapat ungkapan tentang cara terjadinya konsep yang didefinisikan.

c). Definisi dengan rumus

Definisi dengan rumus adalah definisi yang dinyatakan dengan menggunakan kalimat matematika.

2 . Intensi dan Ekstensi suatu Definisi

Sekarang kita tinjau segi lain dari definisi. Dalam suatu definisi terdapat 2 hal yang disebut intensi atau hal yang menjadi fokus dalam pernyataan dan ekstensi atau hal yang menjadi jangkauan dari pernyataan. Dapat terjadi dua definisi dengan intensi berbeda tetapi ekstensi yang sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan sebuah contoh di bawah ini.

12

Berkaitan dengan intensi dan ekstensi suatu definisi, maka definisi suatu konsep matematika dapat berbagai macam bentuknya. Karena itu, definisi yang mungkin dikemukakan siswa dapat saja berbeda dengan definisi formal yang biasa digunakan dalam matematika. Dalam hal ini guru harus jeli melihat kemungkinan kesamaan dan definisi-definisi tersebut. Guru tidak boleh menyalahkan definisi yang diberikan siswa bila memang ternyata memiliki pengertian yang sama. Bila pun salah, guru hams memfasilitasi pikiran siswa menuju pada definisi yang tepat.

c.      Operasi dan relasi

Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika lainnya. Sementara relasi adalah hubungan antara dua atau lebih eleman. "irisan", dan lain-lain. Sedang relasi antara lain: "sama dengan", lebih kecil", dan lain-lain.

Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Semesta dan elemen-elemen yang dioperasikan dengan elemen yang diperoleh dari operasi tersebut bisa sama bisa pula berbeda. Elemen yang dihasilkan dari suatu operasi disebut hasil operasi.

Dalam matematika dikenal bermacam-macam operasi, yaitu operasi "unair" bila melibatkan hanya satu elemen yang diketahui, operasi "biner" bila melibatkan tepat dua elemen yang diketahui, operasi "terner" bila melibatkan tepat tiga elemen yang diketahui. Operasi seringkali juga disebut sebagai "skill" (keterampilan), bila yang ditekankan adalah keterampilannya. Keterampilan ini dapat dipelajari lewat demonstrasi, drill, dan lain-lain. Siswa dianggap telah menguasai suatu keterampilan atau operasi bila is dapat mendemonstrasikan keterampilan atau operasi tersebut dengan benar.

d.      Prinsip

Prinsip adalah objek matematika yang komplek, yang terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi atau pun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa "aksioma", "teorema" atau "dalil", "corollary" atau "sifat", dan sebagainya.

2. Bertumpu pada kesepakatan

Simbol-simbol dan istilah-istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi yang penting. Dengan simbol dan istilah yang telah disepakati dalam matematika maka pembahasan selanjutnya akan menjadi mudah dilakukan dan dikomunikasikan.

Dalam matematika, kesepakatan atau konvensi merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma (postulat, pernyataan pangkal yang tidak perlu pembuktian) dan konsep primitif (pengertian pangkal yang tidak perlu didefinisikan, undefined term). Aksioma yang diperlukan untuk menghindari berputar-putar dalam pembuktian (circulus in probando). Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindari berputar-putar dalam pendefinisian (circulus in definiendo).

Aksioma dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis; (1) aksioma yang bersifat "self evident truth", yaitu bila kebenarannya langsung terlihat dan pernyataannya, dan (2) aksioma yang bersifat "non-self evident truth", yaitu pernyataan yang mengaitkan fakta dan konsep lewat suatu relasi tertentu. Bentuk terakhir ini lebih terlihat sebagai sebuah kesepakatan saja.

Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan beberapa teorema. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.

3. Berpola pikir deduktif

Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana.

4. Konsisten dalam Sistemnya

Dalam matematika terdapat berbagai macam sistem yang dibentuk dari beberapa aksioma dan memuat beberapa teorema. Ada sistem-sistem yang berkaitan, ada pula sistem-sistem yang dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Di dalam sistem aljabar terdapat pula beberapa sistem lain yang lebih "kecil" yang berkaitan satu dengan lainnya. Demikian pula di dalam sistem geometri.

Di dalam masing-masing sistem berlaku ketaatazasan atau konsistensi. Artinya bahwa dalam setiap sistem tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema atau pun definisi hams menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya. Antara sistem atau struktur yang satu dengan sistem atau struktur yang lain tidak mustahil terdapat pernyataan yang saling kontradiksi.

5. Memiliki simbol yang kosong dari arti

Karakteristik ini dapat dipandang termasuk ke dalam karakteristik butir A. Tetapi di sini akan dibahas tersendiri agar dapat dipahami lebih utuh.

Di dalam matematika banyak sekali terdapat simbol baik yang berupa huruf Latin, huruf Yunani, maupun simbol-simbol khusus lainnya. Simbol-simbol tersebut membentuk kalimat dalam matematika yang biasanya disebut model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi. Selain itu ada pula model matematika yang berupa gambar (pictorial) seperti bangun­bangun geometrik, grafik, maupun diagram.

Jadi secara umum, model/simbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengkaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan simbol matematika dengan simbol bukan matematika. Kosongnya arti dan model-model matematika itu merupakan "kekuatan" matematika, yang dengan sifat tersebut is bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan, dari masalah teknis, ekonomi, hingga ke bidang psikologi.

Walaupun demikian, kebanyakan siswa masih cukup kuat terikat dengan makna yang pertama kali atau yang biasa diajarkan oleh gurunya. Hal ini seperti yang pernah dikeluhkan oleh matematikawan Whitehead, "Yang paling sukar untuk menjelaskan kepada seseorang yang baru belajar matematika ialah bahwa x itu sama sekali tidak berarti". (Jujun, 2002: 190). Maka dari itu, guru harus senantiasa waspada pada pengertian yang dipakai oleh siswa dalam mempelajari suatu topik bahasan matematika.

6. Memperhatikan Semesta Pembicaraan

Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol matematika, maka bila kita menggunakannya kita seharusnya memperhatikan pula lingkup pembicaraannya. Lingkup atau sering disebut semesta pembicaraan bisa sempit bisa pula luas. Bila kita berbicara tentang bilangan-bilangan, maka simbol-simbol tersebut menunjukkan bilangan-bilangan pula. Begitu pula bila kita berbicara tentang transformasi geometris (seperti translasi, rotasi, dan lain-lain) maka simbol-simbol matematikanya menunjukkan suatu transformasi pula. Benar salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu soal atau masalah, juga ditentukan oleh semesta pembicaraan yang digunakan.

2.7. Karakteristik Matematika Sekolah

Sehubungan dengan karakteristik umum matematika di atas, dalam pelaksanaan pembelajaran matematika di sekolah harus memperhatikan ruang lingkup matematika sekolah. Ada sedikit perbedaan antara matematika sebagai "ilmu" dengan matematika sekolah, perbedaan itu dalam hal: (1) penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, dan (4) tingkat keabstrakan.

1. Penyajian

Penyajian matematika tidak hams diawali dengan teorema maupun definisi, tetapi hamslah disesuaikan dengan perkembangan intelektual siswa.

2.        Pola pikir

Pembelajaran matematika sekolah dapat menggunakan pola pikir deduktif maupun pola pikir induktif. Hal ini harus disesuaikan dengan topik bahasan dan tingkat intelektual siswa. Sebagai kriteria umum, biasanya di SD menggunakan pendekatan induktif lebih dulu karena hal ini lebih memungkinkan siswa menangkap pengertian yang dimaksud. Sementara untuk SMP dan SMA, pola pikir deduktif sudah semakin ditekankan.

3. Semesta Pembicaraan

Sesuai dengan tingkat perkembangan intelektual siswa,maka matematika yang disajikan dalam jenjang pendidikan juga menyesuaikan dalam kekomplekan semestanya. Semakin meningkat tahap perkembangan intelektual siswa, maka semesta matematikanya semakin diperluas.

4. Tingkat keabstrakan.

Seperti pada poin sebelumnya, tingkat keabstrakan matematika juga harus menyesuaikan dengan tingkat perkembangan intelektual siswa. Di SD dimungkinkan untuk "mengkonkretkan" objek-objek matematika agar siswa lebih memahami pelajaran. Namun, semakin tinggi jenjang sekolah, tingkat keabstrakan objek semakin diperjelas.

Penutup

A.Kesimpulan

Karakteristik kultural matematika dapat dilihat pada tiga hal: (1) sejarah matematika, (2) evolusi matematika, dan (3) ethnomatematika. Implikasi penggunaan karakteristik kultural dalam pembelajaran matematika terdapat pada tiga aspek: (1) pemahaman (understanding), (2) antusiasme (enthusiasm), dan (3) keterampilan (skills).

Karakteristik filosofis matematika dapat dilihat pada tiga aliran utama, yaitu formalisme, logisisme atau logikalisme, dan intuisionisme. Pengaruh landasan matematika dalam pembelajaran harus sesuai dengan tujuan pendidikan matematika.

Deskripsi matematika bermacam-macam bentuknya, antara lain bahwa matematika dapat dipandang sebagai struktur yang terorganisir, alat, pola pikir deduktif, cara bernalar, bahasa artifisial, dan seni yang kreatif. Kedudukan matematika tersebut harus didudukkan dalam pembelajaran matematika secara proposional.

Karakteristik umum matematika meliputi beberapa hal: (1) Memiliki objek kajian yang abstrak, berupa fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip, (2) Bertumpu pada kesepakatan atau konvensi, baik berupa simbol-simbol dan istilah maupun aturan-aturan dasar (aksioma), (3) Berpola pikir deduktif, (4) Konsisten dalam sistemnya, (5) Memiliki simbol yang kosong dari arti, dan (6) Memperhatikan semesta pembicaraan.

Karakteristik matematika sekolah dapat dilihat pada aspek: (1) penyajian, (2) pola pikir, (3) semesta pembicaraan, dan (4) tingkat keabstrakan.

                                                                     Daftar Pustaka

Dali S. Naga. 1980. Berhitung, Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: Gramedia

Jujun S. Suriasumantri. 2002. Filsafat Ilmu, Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.

O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. 1999. kumpulan esai dalam http://www­history.mcs.st-andrew.ac.uk/history/HistTopic/ & dalam http://www­history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematics/

Soedjadi. 2000. Kiat Pendidikan Matematika, Konstatasi keadaan masa kini menuju harapan masa depan. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi.

Soeharjo. 2000. Aksiomatik. Surakarta: Program Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret.

The Liang Gie. 1984. Filsafat Ilmu. Yogyakarta: Supersukses.